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PAES Regular 2026 · Admisión 2027

Fórmulas PAES M1:
ejemplos y práctica

Encuentra la relación que necesitas. Entiende cuándo usarla y prueba con un ejercicio.

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Astro graduado con un lápiz

25 fichas de fórmulas y procedimientos de Preu AI, basadas en el temario DEMRE. Material de repaso no oficial; no reemplaza estudiar y resolver problemas.

25 de 25 fichas

Números

Opera, compara y reconoce la base de cada cálculo.

Fracciones y orden

#
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}
ab⋅cd=acbd,a/bc/d=adbc\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\quad \frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}

Qué significa cada variable

a, c
Numeradores enteros.
b, d
Denominadores enteros distintos de cero.

Cuándo usarlo

Para operar números racionales o compararlos con una unidad común.

  • b y d no pueden ser cero; al dividir, c tampoco puede ser cero.
  • Para comparar con productos cruzados, usa denominadores positivos; si son negativos, normaliza sus signos.

Error habitual: Sumar los denominadores. Primero expresa ambas fracciones con el mismo denominador y suma sus numeradores.

Ejemplo resuelto

Calcula 1/3 + 1/4.

  1. Un denominador común es 12.
  2. 1/3 = 4/12 y 1/4 = 3/12.
  3. Suma: 4/12 + 3/12 = 7/12.

El resultado es 7/12, menor que 1.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. −3/4 = −6/8.
  2. −6/8 + 5/8 = −1/8.
  3. También puedes escribir −0,125.

Porcentajes y cambios

#
parte=total⋅p100\text{parte}=\text{total}\cdot\frac{p}{100}
final=inicial(1±p100)\text{final}=\text{inicial}\left(1\pm\frac{p}{100}\right)

Qué significa cada variable

p
Número del porcentaje: 15 para 15%, no 0,15.
inicial, final
Valores antes y después del cambio. La misma unidad.

Cuándo usarlo

Para obtener una parte porcentual o aplicar un aumento o descuento.

  • La base inicial es positiva.
  • En un descuento de precio, 0 ≤ p ≤ 100.
  • Los cambios sucesivos se multiplican sobre la nueva base; porcentaje y puntos porcentuales son distintos.

Error habitual: Restar 15 pesos cuando se indica 15%. Convierte el porcentaje en proporción y multiplícalo por el precio inicial.

Ejemplo resuelto

Una mochila ficticia vale 12.000 pesos y baja 15%.

  1. 15/100 = 0,15.
  2. Descuento: 12000 × 0,15 = 1800 pesos.
  3. Precio final: 12000 − 1800 = 10200 pesos.
  4. Comprobación: 12000 × 0,85 = 10200.

El precio final es 10.200 pesos, menor que el inicial.

Practica esta idea

pesos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. 25/100 = 0,25.
  2. Descuento: 8000 × 0,25 = 2000 pesos.
  3. Precio final: 8000 − 2000 = 6000 pesos.

Potencias

#
aman=am+n,aman=am−n,(am)n=amna^m a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn}

Qué significa cada variable

a
Base.
m, n
Exponentes.

Cuándo usarlo

Para simplificar productos o cocientes con la misma base.

  • Para exponentes enteros, a ≠ 0 si hay denominador o exponente negativo.
  • a > 0 es una condición segura al aplicar estas reglas con exponentes racionales.
  • No asignes un valor a 0 elevado a 0.

Error habitual: Sumar exponentes en una suma de potencias. La regla de suma de exponentes corresponde a multiplicación, no a adición.

Ejemplo resuelto

Simplifica 3² × 3³.

  1. Las bases son iguales: 3.
  2. Suma los exponentes: 2 + 3 = 5.
  3. 3⁵ = 243.

El producto es 243.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Suma exponentes: 3 + (−1) = 2.
  2. 2² = 4.
  3. Comprueba: 8 × 1/2 = 4.

Raíces y dominio

#
a2=∣a∣,ab=ab (a,b≥0)\sqrt{a^2}=|a|,\quad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\ (a,b\geq0)
an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Qué significa cada variable

a, b
Radicandos reales.
n
Índice entero positivo de la raíz.

Cuándo usarlo

Para simplificar radicales comprobando que existan en los reales.

  • Con índice par, radicando ≥ 0 y raíz principal ≥ 0.
  • Con índice impar, se admiten radicandos negativos.
  • No distribuyas una raíz sobre una suma.

Error habitual: Concluir que √(a²) = a para todo a. Si a es negativo, la raíz principal sigue siendo positiva: usa |a|.

Ejemplo resuelto

Simplifica √36.

  1. 36 = 6².
  2. La raíz cuadrada principal es no negativa.
  3. √36 = 6.

La raíz principal es 6, aunque (−6)² también sea 36.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. (−5)² = 25.
  2. √25 = 5.
  3. Equivale a |−5|.

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Álgebra y funciones

Elige un modelo, resuelve y comprueba sus condiciones.

Identidades y factorización

#
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a2−b2=(a−b)(a+b),ab+ac=a(b+c)a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad ab+ac=a(b+c)

Qué significa cada variable

a, b, c
Números o expresiones algebraicas reales.

Cuándo usarlo

Para reescribir expresiones como productos o reconocer cuadrados perfectos.

  • Las identidades valen para expresiones reales definidas.
  • Desarrollar y factorizar son operaciones inversas; verifica multiplicando.

Error habitual: Olvidar el término 2ab. Multiplica (a+b)(a+b): aparecen dos productos ab.

Ejemplo resuelto

Factoriza x² − 16.

  1. 16 = 4².
  2. Reconoce una diferencia de cuadrados.
  3. x² − 4² = (x−4)(x+4).

Multiplicar los factores devuelve x² − 16.

Practica esta idea

¿Cuál es la factorización de x² + 6x + 9?
Solución paso a paso
  1. 9 = 3² y 6x = 2·x·3.
  2. Reconoce x² + 2·x·3 + 3².
  3. Por eso es (x+3)².

Proporcionalidad

#
y=kx(directa),xy=k(inversa)y=kx\quad\text{(directa)},\qquad xy=k\quad\text{(inversa)}

Qué significa cada variable

x, y
Magnitudes relacionadas.
k
Constante de proporcionalidad. Depende de las magnitudes.

Cuándo usarlo

Cuando una razón o producto se mantiene constante.

  • Para calcular y = k/x o y/x, x ≠ 0.
  • Justifica el modelo: más cantidad no siempre significa más resultado.
  • En problemas de trabajo, supone rendimiento constante y trabajo fijo.

Error habitual: Usar proporción directa en tiempo y número de trabajadores. Con trabajo fijo y rendimiento igual, más trabajadores reducen el tiempo.

Ejemplo resuelto

Dos máquinas iguales tardan 9 horas en completar un trabajo fijo. ¿Cuánto tardan tres?

  1. Máquinas × horas se mantiene: 2 × 9 = 18.
  2. Con tres máquinas, 3 × t = 18.
  3. t = 6 horas.

Tardan 6 horas si trabajan simultáneamente al mismo rendimiento.

Practica esta idea

horas

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Producto constante: 3 × 6 = 18.
  2. 6 × t = 18.
  3. t = 3 horas.

Ecuaciones e inecuaciones

#
ax+b=c ⇒ x=c−ba(a≠0)ax+b=c\ \Rightarrow\ x=\frac{c-b}{a}\quad(a\neq0)

Qué significa cada variable

x
Incógnita real.
a, b, c
Coeficientes y término independiente.

Cuándo usarlo

Para despejar una incógnita sin perder equivalencia.

  • Aplica la misma operación a ambos miembros.
  • Al multiplicar o dividir una desigualdad por un negativo, invierte su sentido.
  • Si a = 0, una ecuación queda en igualdad cierta (infinitas soluciones) o falsa (ninguna).

Error habitual: No invertir la desigualdad al dividir por un negativo. Por ejemplo, −x < 2 equivale a x > −2.

Ejemplo resuelto

Resuelve 3x + 2 = 14.

  1. Resta 2: 3x = 12.
  2. Divide por 3: x = 4.
  3. Verifica: 3·4 + 2 = 14.

La solución es x = 4.

Practica esta idea

Resuelve −2x ≤ 6.
Solución paso a paso
  1. Divide ambos lados por −2.
  2. Invierte ≤ a ≥.
  3. La solución es x ≥ −3; el extremo −3 está incluido.

Sistemas de ecuaciones 2×2

#
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{aligned}a_1x+b_1y&=c_1\\a_2x+b_2y&=c_2\end{aligned}

Qué significa cada variable

x, y
Incógnitas del sistema.
a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂
Coeficientes reales conocidos.

Cuándo usarlo

Para modelar dos condiciones sobre dos incógnitas.

  • Sustituye una incógnita o elimina una mediante suma de ecuaciones equivalentes.
  • Un sistema puede tener una, ninguna o infinitas soluciones; no dividas por cero.
  • Verifica el resultado en ambas ecuaciones.

Error habitual: Comprobar solo una ecuación. La pareja debe satisfacer las dos condiciones del sistema.

Ejemplo resuelto

Resuelve x+y=8 y x−y=2.

  1. Suma las ecuaciones: 2x = 10.
  2. x = 5; sustituye en x+y=8: y = 3.
  3. Comprueba: 5+3=8 y 5−3=2.

La solución es (5,3).

Practica esta idea

Resuelve x+y=9 y x−y=3. Elige (x,y).
Solución paso a paso
  1. Suma: 2x = 12, entonces x = 6.
  2. 6 + y = 9, entonces y = 3.
  3. Comprueba 6+3=9 y 6−3=3.

Recta, pendiente y función afín

#
f(x)=mx+b,m=y2−y1x2−x1f(x)=mx+b,\qquad m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Qué significa cada variable

m
Cambio de la salida por unidad de entrada.
b
Intercepto vertical.
x, f(x)
Entrada y salida del modelo.

Cuándo usarlo

Cuando la salida cambia a ritmo constante respecto de la entrada.

  • Para calcular pendiente, x₂ ≠ x₁: una recta vertical no es función y=f(x).
  • Función lineal: b = 0; afín: incluye término independiente.
  • Respeta el dominio y las unidades del contexto.

Error habitual: Intercambiar pendiente y costo fijo. En mx+b, m multiplica la entrada y b se suma una sola vez.

Ejemplo resuelto

Una tarifa ficticia es C(x)=1000+500x, con x en kilómetros.

  1. El costo fijo es 1000 pesos.
  2. Para 3 km, la parte variable es 500·3=1500.
  3. C(3)=1000+1500=2500 pesos.

Tres kilómetros cuestan 2.500 pesos bajo este modelo.

Practica esta idea

pesos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. 700·4 = 2800.
  2. 1500 + 2800 = 4300.
  3. El resultado es un costo en pesos.

Ecuación cuadrática

#
Δ=b2−4ac,x=−b±Δ2a\Delta=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Qué significa cada variable

a, b, c
Coeficientes en ax²+bx+c=0.
Δ
Discriminante.

Cuándo usarlo

Para resolver una ecuación de segundo grado; también puedes factorizar cuando sea sencillo.

  • a ≠ 0; si a = 0, es de primer grado o un caso constante.
  • En los reales, Δ > 0: dos raíces; Δ = 0: una raíz doble; Δ < 0: ninguna raíz real.
  • Todo el numerador se divide por 2a.

Error habitual: Dividir solo la raíz por 2a o perder el ±. Conserva paréntesis y calcula las dos posibilidades cuando Δ > 0.

Ejemplo resuelto

Resuelve x²−3x+2=0.

  1. a=1, b=−3, c=2; Δ=9−8=1.
  2. x=(3±1)/2.
  3. Las raíces son 1 y 2; ambas anulan la expresión.

El conjunto solución es {1,2}.

Practica esta idea

¿Qué conjunto resuelve x²−5x+6=0?
Solución paso a paso
  1. Factoriza: (x−2)(x−3)=0.
  2. Uno de los factores debe ser cero.
  3. x=2 o x=3; ambos satisfacen la ecuación.

Gráfica cuadrática y vértice

#
f(x)=ax2+bx+c,xv=−b2a,yv=f(xv)f(x)=ax^2+bx+c,\quad x_v=-\frac{b}{2a},\quad y_v=f(x_v)

Qué significa cada variable

a, b, c
Coeficientes reales; a determina la concavidad.
xᵥ, yᵥ
Coordenadas del vértice.

Cuándo usarlo

Para localizar y distinguir la posición y el valor de un extremo cuadrático.

  • a ≠ 0; a > 0: mínimo, a < 0: máximo en todos los reales.
  • En un dominio limitado, verifica restricciones y extremos.
  • Intersección vertical: (0,c). Los ceros se obtienen resolviendo f(x)=0.

Error habitual: Dar xᵥ como valor máximo. Después de encontrar xᵥ, calcula yᵥ=f(xᵥ).

Ejemplo resuelto

Encuentra el mínimo de f(x)=x²−4x+7 en los reales.

  1. a=1: abre hacia arriba.
  2. xᵥ=4/2=2.
  3. f(2)=4−8+7=3.
  4. El vértice es (2,3).

El mínimo es 3 y se alcanza en x=2.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. a=−1: abre hacia abajo.
  2. xᵥ=−6/(−2)=3.
  3. f(3)=−9+18+1=10.

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Geometría

Identifica la figura, las medidas y la unidad de respuesta.

Teorema de Pitágoras

#
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2

Qué significa cada variable

a, b
Catetos que forman el ángulo recto. La misma unidad de longitud.
c
Hipotenusa, opuesta al ángulo recto. Longitud.

Cuándo usarlo

Para obtener un lado de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos.

  • Solo se aplica a un triángulo rectángulo.
  • Las longitudes son positivas y c es el lado más largo.

Error habitual: Aplicarlo a cualquier triángulo. Identifica primero un ángulo de 90° y el lado opuesto.

Ejemplo resuelto

Un triángulo rectángulo tiene catetos 3 cm y 4 cm.

  1. c² = 3²+4² = 9+16.
  2. c²=25; como c>0, c=5.
  3. Comprueba: 5 es mayor que cada cateto.

La hipotenusa mide 5 cm.

Practica esta idea

cm

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. c²=6²+8²=36+64=100.
  2. c=√100=10, usando la raíz positiva.
  3. La hipotenusa mide 10 cm.

Triángulos: área y perímetro

#
A=bh2,P=a+b+cA=\frac{bh}{2},\qquad P=a+b+c

Qué significa cada variable

b, h
Base y altura perpendicular a esa base. Longitud.
a, b, c
Lados para calcular perímetro. Longitud.
A, P
Área (unidad²) y perímetro (unidad).

Cuándo usarlo

Para medir superficie o contorno de un triángulo.

  • La altura debe ser perpendicular a la base o su prolongación.
  • Un lado inclinado no siempre es la altura; las medidas son positivas y coherentes.

Error habitual: Usar el lado oblicuo como altura. Traza una perpendicular a la base; puede caer fuera del triángulo.

base bh90°
Esquema no a escala. Usa las medidas del enunciado.

Ejemplo resuelto

Un triángulo tiene base 6 cm y altura perpendicular 4 cm.

  1. Identifica b=6 y h=4.
  2. A=6·4/2=12.
  3. El área se expresa en unidades cuadradas.

El área es 12 cm²; los lados faltantes impiden deducir el perímetro.

Practica esta idea

cm²

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. A=b·h/2.
  2. A=8·5/2=20.
  3. El área es 20 cm².

Paralelogramos y trapecios

#
Aparalelogramo=bh,P=2(a+b)A_{\text{paralelogramo}}=bh,\quad P=2(a+b)
Atrapecio=(B+b)h2A_{\text{trapecio}}=\frac{(B+b)h}{2}

Qué significa cada variable

B, b
Bases paralelas del trapecio.
h
Altura perpendicular.
a, b
Lados contiguos del paralelogramo.

Cuándo usarlo

Para áreas de cuadriláteros con lados opuestos paralelos o un par de bases paralelas.

  • Medidas positivas y en la misma unidad.
  • En trapecios, el perímetro es la suma de los cuatro lados.
  • Rectángulo y cuadrado son casos particulares de paralelogramo.

Error habitual: Sumar las bases del trapecio sin dividir por dos. Usa su promedio, (B+b)/2, y multiplícalo por h.

Ejemplo resuelto

Paralelogramo de base 7 cm y altura 3 cm.

  1. Comprueba que 3 cm es altura perpendicular.
  2. A=7·3=21.
  3. No uses el lado oblicuo como altura.

El área es 21 cm².

Practica esta idea

cm²

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Promedio de bases: (6+10)/2=8.
  2. A=8·4=32.
  3. El área es 32 cm².

Círculo y circunferencia

#
A=πr2,C=2πr=πd,d=2rA=\pi r^2,\qquad C=2\pi r=\pi d,\qquad d=2r

Qué significa cada variable

r, d
Radio y diámetro. Longitud.
A, C
Superficie y longitud del borde.

Cuándo usarlo

Para distinguir cuánto cubre un círculo y cuánto mide su contorno.

  • r > 0; usa radio, no diámetro, en πr².
  • El área usa unidades cuadradas; el borde usa unidades de longitud.
  • Conserva π exacto cuando no se pide aproximación.

Error habitual: Sustituir el diámetro donde se pide radio. Divide el diámetro por dos antes de usar una fórmula con r.

Ejemplo resuelto

Círculo de diámetro 6 cm.

  1. r=6/2=3 cm.
  2. A=π·3²=9π cm².
  3. C=π·6=6π cm.

El área es 9π cm² y su borde mide 6π cm.

Practica esta idea

Radio de 4 cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?
Solución paso a paso
  1. C=2πr.
  2. C=2π·4=8π.
  3. Se pide longitud: cm, no cm².

Cubo y caja rectangular

#
Vcubo=a3,At=6a2V_{\text{cubo}}=a^3,\quad A_t=6a^2
Vcaja=abc,At=2(ab+ac+bc)V_{\text{caja}}=abc,\quad A_t=2(ab+ac+bc)

Qué significa cada variable

a, b, c
Aristas perpendiculares de la caja; en el cubo son iguales. Longitud.
V, Aₜ
Volumen (unidad³) y superficie (unidad²).

Cuándo usarlo

Para medir capacidad o superficie de un cubo o caja rectangular.

  • Aristas positivas en la misma unidad.
  • La fórmula de superficie de la caja exige aristas perpendiculares; no se generaliza a sólidos oblicuos.
  • Superficie total incluye las seis caras.

Error habitual: Confundir unidades de volumen y superficie. Volumen ocupa espacio en unidades cúbicas; superficie cubre caras en unidades cuadradas.

Ejemplo resuelto

Cubo de arista 3 cm.

  1. V=3³=27 cm³.
  2. Cada cara mide 3²=9 cm².
  3. Seis caras: Aₜ=6·9=54 cm².

Volumen 27 cm³, superficie 54 cm².

Practica esta idea

cm³

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. V=2·3·4=24 cm³.
  2. Para distinguir: superficie=2(6+8+12)=52 cm².
  3. Se pide volumen, por eso la respuesta es 24 cm³.

Cilindro recto

#
V=πr2h,Al=2πrh,At=2πr2+2πrhV=\pi r^2h,\quad A_l=2\pi rh,\quad A_t=2\pi r^2+2\pi rh

Qué significa cada variable

r, h
Radio y altura perpendicular. La misma unidad de longitud.
V, Aₗ, Aₜ
Volumen (unidad³), área lateral y total (unidad²).

Cuándo usarlo

Para volumen o superficie de un cilindro recto.

  • r,h > 0; cilindro recto.
  • Aₜ incluye dos bases; si faltan tapas, suma solo las superficies presentes.
  • Incluido en Regular 2026; no afirma cobertura de Invierno.

Error habitual: Usar diámetro como radio u olvidar las bases. Identifica r y las superficies que realmente se consideran.

rh
Esquema no a escala. Usa las medidas del enunciado.

Ejemplo resuelto

Cilindro recto cerrado de r=2 cm y h=5 cm.

  1. Base: π·2²=4π cm².
  2. Volumen: 4π·5=20π cm³.
  3. Superficie: 2·4π + 2π·2·5=28π cm².

Volumen 20π cm³ y superficie cerrada 28π cm².

Practica esta idea

Cilindro recto de radio 3 cm y altura 4 cm. ¿Cuál es su volumen?
Solución paso a paso
  1. V=πr²h.
  2. V=π·3²·4=36π cm³.
  3. El radio va al cuadrado y la unidad es cúbica.

Isometrías en coordenadas

#
(x,y)↦(x+u,y+v)(x,y)\mapsto(x+u,y+v)
(x,y)↦(−y,x)(giro antihorario de 90°)(x,y)\mapsto(-y,x)\quad\text{(giro antihorario de 90°)}

Qué significa cada variable

x, y
Coordenadas del punto inicial.
u, v
Componentes del vector de traslación.

Cuándo usarlo

Para representar traslaciones, reflexiones o giros con centro y sentido declarados.

  • Las isometrías conservan distancias y ángulos.
  • Reflejo en eje x: (x,−y); en eje y: (−x,y).
  • Giro de 180° en el origen: (−x,−y). Las reglas de giro dadas solo valen con centro en el origen.

Error habitual: Usar una regla del origen para un centro diferente. Identifica centro, eje o vector antes de transformar las coordenadas.

A (2,−1)B (−1,3)xy0(−3,4)
Traslación: tres unidades a la izquierda y cuatro hacia arriba.

Ejemplo resuelto

Refleja (3,−2) respecto del eje x.

  1. El eje x conserva la primera coordenada.
  2. Cambia el signo de la segunda.
  3. El resultado es (3,2); ambos puntos distan 2 del eje.

La reflexión es (3,2).

Practica esta idea

Traslada (2,−1) por el vector (−3,4). ¿Cuál es el punto final?
Solución paso a paso
  1. Primera coordenada: 2+(−3)=−1.
  2. Segunda: −1+4=3.
  3. El punto final es (−1,3).

Semejanza y escala

#
L2=kL1(k>0)L_2=kL_1\quad(k>0)

Qué significa cada variable

L₁, L₂
Longitudes correspondientes. La misma unidad.
k
Razón positiva de escala. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para comparar figuras semejantes o interpretar una escala de plano.

  • Identifica lados correspondientes y convierte a la misma unidad.
  • Escala 1:50 significa una unidad en el plano por 50 unidades reales.
  • Esta ficha trata longitudes; no aplica esa razón directamente a áreas o volúmenes.

Error habitual: Comparar lados no correspondientes o mezclar cm y m. Marca la correspondencia y convierte unidades antes de formar razones.

Ejemplo resuelto

Un plano 1:100 muestra un segmento de 3 cm.

  1. Cada cm representa 100 cm reales.
  2. 3·100=300 cm.
  3. 300 cm = 3 m.

La longitud real es 3 m.

Practica esta idea

m

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. 4·50=200 cm.
  2. 100 cm equivalen a 1 m.
  3. 200 cm=2 m.

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Probabilidad y estadística

Interpreta datos y cuenta resultados sin duplicarlos.

Frecuencias y gráficos

#
fr=fan,p=100frf_r=\frac{f_a}{n},\qquad p=100f_r

Qué significa cada variable

fₐ
Cantidad de observaciones de una categoría.
n
Total de observaciones, entero positivo.
fᵣ, p
Proporción y porcentaje.

Cuándo usarlo

Para interpretar una tabla o convertir un conteo en proporción.

  • 0 ≤ fₐ ≤ n; las frecuencias absolutas deben sumar el total.
  • Lee título, ejes y escala del gráfico antes de comparar.
  • Una proporción va de 0 a 1; no es el mismo número que su porcentaje.

Error habitual: Confundir valor observado con cantidad de veces que aparece. Distingue la variable del conteo de sus observaciones.

Ejemplo resuelto

En un grupo de 20 respuestas, 5 eligieron una categoría.

  1. Frecuencia absoluta: 5; total: 20.
  2. Frecuencia relativa: 5/20=1/4=0,25.
  3. Porcentaje: 25%.

La categoría representa una cuarta parte del grupo.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. fᵣ=6/30.
  2. Simplifica: 1/5=0,2.
  3. 20 es el porcentaje, no la proporción solicitada.

Promedio simple y por frecuencia

#
xˉ=∑xin,xˉ=∑xifi∑fi\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}

Qué significa cada variable

xᵢ
Valor de la variable.
fᵢ
Frecuencia del valor.
n
Cantidad total de datos.

Cuándo usarlo

Para calcular una media a partir de una lista o tabla de frecuencias.

  • Debe existir al menos un dato; frecuencias enteras no negativas y total positivo.
  • La media conserva la unidad de la variable.
  • Para reunir medias de grupos, pondera por sus tamaños.

Error habitual: Dar el mismo peso a valores de frecuencias distintas. Cuenta cada valor tantas veces como indica su frecuencia.

Ejemplo resuelto

Media de 3,5,7,9.

  1. Suma: 3+5+7+9=24.
  2. Hay 4 datos.
  3. 24/4=6.

La media es 6, entre el mínimo y el máximo.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Suma ponderada: 2·1+4·2+8·1=18.
  2. Total: 1+2+1=4.
  3. 18/4=4,5.

Posición y diagrama de caja

#
Q1=P25,Q2=P50,Q3=P75Q_1=P_{25},\qquad Q_2=P_{50},\qquad Q_3=P_{75}

Qué significa cada variable

Q₁, Q₂, Q₃
Cuartiles en los datos ordenados.
Pₖ
Percentil de posición k, según la convención declarada.

Cuándo usarlo

Para interpretar posiciones y distribución sin confundirlas con promedios.

  • Ordena los datos antes de ubicar posiciones.
  • En lista impar, la mediana es el dato central; en lista par, promedio de los dos centrales.
  • Las convenciones de cuantiles pueden diferir. En el diagrama de esta ficha, los bigotes son mínimo y máximo; no es una regla universal.
  • No puedes deducir la media solo desde la caja.

Error habitual: Interpretar percentil 75 como 75% del valor máximo. El percentil ubica un corte en la distribución ordenada, no un porcentaje de una magnitud.

246810
Bigotes en mínimo y máximo, según esta convención.

Ejemplo resuelto

Interpreta la caja: mínimo 2, Q₁=4, mediana 6, Q₃=8 y máximo 10; bigotes en extremos.

  1. La línea interior marca la mediana: 6.
  2. La caja va de Q₁=4 a Q₃=8.
  3. Los bigotes llegan a 2 y 10 bajo la convención declarada.

Son posiciones de la distribución; no informan por sí solas su media.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Hay cinco datos.
  2. El tercero queda en el centro.
  3. La mediana es 6.

Probabilidad simple y complemento

#
P(A)=casos favorablescasos posibles,P(Ac)=1−P(A)P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}},\quad P(A^c)=1-P(A)

Qué significa cada variable

A
Evento de interés.
Aᶜ
Evento de que A no ocurra.

Cuándo usarlo

Para eventos simples y para calcular la probabilidad de que no ocurran.

  • La regla de conteo exige resultados equiprobables y un total positivo.
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1; el complemento no depende de equiprobabilidad.

Error habitual: Contar resultados como si todos fueran igual de probables. Comprueba equiprobabilidad; una moneda o dado debe declararse equilibrado.

Ejemplo resuelto

Dado equilibrado: probabilidad de no obtener 1.

  1. P(1)=1/6.
  2. Complemento: 1−1/6=5/6.
  3. Son los cinco resultados 2,3,4,5,6.

La probabilidad es 5/6.

Practica esta idea

Fracción exacta, por ejemplo 2/3.

Solución paso a paso
  1. Favorables: 5 y 6, dos resultados.
  2. Posibles: seis equiprobables.
  3. 2/6=1/3.

Regla aditiva de probabilidades

#
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Qué significa cada variable

A ∪ B
Ocurre al menos uno; “o” inclusivo.
A ∩ B
Ocurren ambos.

Cuándo usarlo

Para que ocurra al menos uno de dos eventos, incluso si se solapan.

  • Si son excluyentes, la intersección tiene probabilidad cero.
  • Excluyentes e independientes no significan lo mismo.

Error habitual: Contar dos veces los resultados comunes. Resta una vez la intersección para compensar el doble conteo.

Ejemplo resuelto

Ruleta equilibrada de ocho sectores iguales 1 a 8: A=par, B=múltiplo de 3.

  1. A={2,4,6,8}; B={3,6}.
  2. Intersección={6}.
  3. P(A o B)=4/8+2/8−1/8=5/8.
  4. Comprueba la unión {2,3,4,6,8}.

La probabilidad es 5/8.

Practica esta idea

Fracción exacta, por ejemplo 2/3.

Solución paso a paso
  1. A={2,4,6}, B={5,6}.
  2. La intersección es {6}.
  3. 3/6+2/6−1/6=4/6=2/3.

Regla multiplicativa de probabilidades

#
P(A∩B)=P(A)P(B)si son independientesP(A\cap B)=P(A)P(B)\quad\text{si son independientes}

Qué significa cada variable

A, B
Eventos de las etapas.

Cuándo usarlo

Para que se cumplan condiciones en etapas sucesivas.

  • En etapas dependientes, usa para la segunda la probabilidad bajo las condiciones que dejó la primera.
  • Sin reposición cambian el total y, según el resultado anterior, los casos favorables.
  • No infieras independencia porque haya dos etapas.

Error habitual: Mantener el mismo denominador al extraer sin reposición. Actualiza la bolsa antes de calcular la segunda probabilidad.

Ejemplo resuelto

Dos lanzamientos independientes de una moneda equilibrada: ambas caras.

  1. Primera cara: 1/2.
  2. El segundo lanzamiento sigue teniendo probabilidad 1/2 de cara.
  3. Producto: (1/2)(1/2)=1/4.

La probabilidad de ambas caras es 1/4.

Practica esta idea

Fracción exacta, por ejemplo 2/3.

Solución paso a paso
  1. Primera roja: 3/5.
  2. Luego quedan 2 rojas de 4 fichas: 2/4.
  3. (3/5)(2/4)=6/20=3/10.

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